Espace réflexif

Espace réflexif $E$
evn tel que la fonction $\Phi$ est bijective, avec $$\Phi:E\longrightarrow E^{**},\qquad [\Phi(x)](\varphi):=\varphi(x)$$

$\Phi$ est toujours isométrique, donc injective
la réflexivité permet d'identifier $(E,\lVert\cdot\rVert_E)$ et $(E^{**},\lVert\cdot\rVert_{E^{**} })$, ou $E$ muni de la Topologie faible avec $E^{**}$ muni de la Topologie -faible

si $E$ est réflexif, alors $\overline{\Phi(E)}$ s'identifie au Complété de $E$

caractérisation pour les Espace de Banach : (théorème de Milman-Pettis) : $E$ est uniformément convexe

si $f$ $:E\to]-\infty,+\infty]$, avec $E$ réflexif, convexe et semi-continue inférieurement telle que $\exists M\in{\Bbb R}$, $\{x\in E\mid f(x)\leqslant M\}$ est borné et non vide, alors $f$ admet un minimiseur

$f+g$ admet un minimiseur si $E$ est réflexif, $f:E\to]-\infty,+\infty]$ est convexe et semi-continue inférieurement, $g:E\to{\Bbb R}$ est continue pour la Topologie faible et $\exists M\in{\Bbb R}$, $\{f+g\leqslant M\}$ est borné non vide

Questions de cours

Démontrer :

On a une inégalité via la définition de la Norme induite en tant que $\sup$.

L'autre égalité vient en considérant l'Elément conjugué dual $\varphi$ de $x$.

Démontrer :

$E^*$ et $E^{**}$ sont des Espace de Banach en tant qu'ensemble de fonctions continues à valeur dans un complet.

$F:=\overline{\Phi(E)}$ est donc complet en tant que Fermé d'un complet.

$E$ est en bijection canonique avec $\Phi(E)$ dense dans $F$.

On conclut par unicité.

Montrer que tout Espace de Hilbert est réflexif.

On peut passer par la Convexité uniforme via l'Identité du parallélogramme ou en trouvant le conjugué dual via le Théorème de représentation de Riesz.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple d'evn qui n'est pas réflexif.
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END

Démontrer :

$\{f\leqslant M\}$ est borné, donc on prend une boule fermée centrée en $0$ qui le contient.

Cette boule est compacte pour la Topologie faible par le Théorème de Banach-Alaoglu et par réflexivité.

$\{f\leqslant M\}$ est faiblement bornée (via un résultat sur l'Ensemble polaire).

L'ensemble des minimiseurs peut s'écrire comme une intersection décroissante de fermés non vides d'un compact.

On conclut via le Lemme des fermés emboîtés.

Démontrer :

Pour $\lambda\in{\Bbb R}$ quelconque, on peut décomposer $\{f+g\gt \lambda\}$ en distribuant sur $f$ et $g$.

$f+g$ est donc également semi-continue inférieurement.

$\{f+g\leqslant M\}$ est donc faiblement fermé via un résultat sur l'Ensemble polaire.

On conclut comme précédemment, en utilisant le Lemme des fermés emboîtés.

Math'φsics

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Questions de cours